なぜ圏論が「現代数学の最重要理論」なのか

――数学の理論というと、数式や証明などが思い浮かびますが、関係性に着目する圏論はまったく異なるものに感じます。なぜ圏論という理論が出てきたのでしょうか。

加藤　端的に言うならば、学問分野を横断する力が数学に必要だったからです。たとえばトポロジー（位相幾何学）という「形」に着目した学問があります。トポロジーの視点で見ると、ドーナツとコーヒーカップは同じ形とみなすことができます。

この場合のコーヒーカップは、穴のある持ち手が1つ付いた、一般的なものとしてください。なぜそれがドーナツと同じ形なのか、理由を簡単に説明すると、ドーナツをぐにゃぐにゃと変形させていけば、どこを切ることもなくコーヒーカップにできるためです。

一方、野球のボールを切らずに変形させてもコーヒーカップにはできません。穴がないためです。このように、ゆるい意味で同じ形を定義するのがトポロジーです。

ところで、穴の個数を数える手法としてホモロジーという概念があります。これはどちらかといえば代数的な考え方なのですが、ドーナツやコーヒーカップなどの形からそのホモロジーを計算する方法は、実はたくさんあります。たくさんあるのに、その答えはいつも同じになる。これは不思議なことです。

圏論は、形から穴の個数を計算するための「方法の間の関係」を定式化するために生まれました。このようなワンランク上の階層の関係を明示化するために、圏論は考えられたわけです。

――加藤先生の著書では、圏論を「現代数学の最重要理論」と表現しています。なぜこの理論が近年そこまで重視されているのですか。

加藤　これも同様に、先ほど触れた「圏論の分野横断性」が求められているからです。数学には代数学、代数幾何学、数論幾何学、微分幾何学など、さまざまな分野があります。現代数学はダイナミックになっており、代数学の課題を解くのに他分野の要素を用いるなど、学問分野を横断することが増えています。

学問分野を横断するには、2つに橋を架けるような言葉が必要です。でなければ、異なる学問同士を融合して1つの課題を解くのは難しい。そこで、関係性を明示化する圏論が必要不可欠になっているのです

――加藤先生は圏論を数学にとどめず、お菓子などの身近な事象で説明しています。なぜ一般論に落とし込んだのですか。

加藤　圏論をお菓子でたとえたのは、おそらく私くらいだと思います（笑）。つねづね私は、圏論は数学の世界にとどめるにはもったいないプラットフォームだと感じていました。そう考えて日々を過ごすと、生活の至る所に圏論があると気づいたのです。それを紹介し、人々が圏論的な思考を持てば、さまざまな価値が生まれると考えました。